Microsoft ayuda a demostrar una conjetura de geometría de 31 años

Desde 1995, una pregunta sobre geometría de alta dimensión separa a los matemáticos de una respuesta clara sobre cómo las caminatas aleatorias exploran una distribución. La conjetura de Kannan–Lovász–Simonovits pregunta si, para una amplia clase de distribuciones de probabilidad, el mejor corte plano es casi tan eficaz como el mejor corte de cualquier forma. Microsoft Research afirma ahora que dos investigadores, entre ellos Xinzhi Zhang, de su grupo de Aprendizaje Automático y Optimización, la han demostrado: la diferencia entre ambos tipos de corte se mantiene por debajo de una cota fija, sea cual sea el número de dimensiones.

Un corte plano es una sección a través de una forma hecha con una hoja plana, es decir, un hiperplano en términos matemáticos. Para las distribuciones log-cóncavas, una amplia familia de distribuciones de probabilidad, la conjetura predice que el mejor corte plano no difiere del mejor corte de cualquier forma en más que una constante universal, sea cual sea el número de dimensiones. La geometría de estos cortes determina la rapidez con la que una caminata aleatoria puede explorar la distribución, y por eso el problema ocupa un lugar central en el muestreo de alta dimensión, la familia de métodos que extraen puntos aleatorios de distribuciones complejas.

El problema fue reconocido como central mucho antes de caer. El Instituto de Investigación en Ciencias Matemáticas lo calificó de «un problema abierto central en geometría convexa de alta dimensión» en su informe anual 2017-18, y el Instituto Simons lo describió como «uno de los problemas abiertos más importantes de la geometría convexa». El mejor resultado conocido, establecido en julio de 2026, permitía que la cota creciera lentamente al aumentar las dimensiones. Los autores la mejoraron primero: en la versión publicada el 1 de octubre de 2026, la dependencia de la dimensión se redujo al logaritmo iterado, una función que crece muy lentamente pero sigue creciendo, de modo que la conjetura todavía no estaba resuelta.

Los últimos pasos llegaron por un flujo de trabajo poco habitual. Trabajando con agentes de IA en un proceso estructurado y dirigido por humanos, los autores exploraron más de 100 enfoques candidatos, muchos de ellos con cálculos extensos con tensores de orden superior. Uno de ellos produjo un nuevo criterio que se convirtió en la base de la demostración. El último paso fue repetir todo el refinamiento recursivo en lugar de aplicarlo una sola vez, una idea inspirada en un trabajo anterior de los autores sobre algoritmos rápidos de programación lineal. Demostraron que los pequeños errores introducidos en cada etapa se reducen con la suficiente rapidez como para que su suma se mantenga acotada por una constante universal, independiente de la dimensión. La versión publicada el 4 de octubre de 2026 completó la demostración. Los autores afirman que las herramientas de IA ayudaron a explorar, derivar y verificar, mientras que los investigadores eligieron la dirección, seleccionaron las ideas y comprobaron el argumento.

La afirmación ha provocado trabajos paralelos. El mismo día en que el equipo de Microsoft publicó su demostración completa, un grupo distinto de expertos destacados publicó una demostración completa que había desarrollado en paralelo, y calificó la primera versión de Microsoft de «el paso crucial de la demostración». Una tercera demostración, publicada ese día, se basa en una idea muy próxima. La publicación de Microsoft indica además que varios investigadores independientes validaron el trabajo y que después se realizó una verificación formal por máquina. No dice si el artículo ha sido aceptado aún por alguna revista.

Para los investigadores que diseñan y analizan métodos de muestreo y optimización, el cambio está en las garantías: una cota que ya no crece con la dimensión sustituye a otra que sí crecía, por lenta que fuera. La publicación presenta este avance como la eliminación de un obstáculo teórico importante para entender la eficiencia de los algoritmos aleatorizados que se usan en la ciencia y la informática. No fija una fecha para ningún efecto práctico y no dice si el resultado se traducirá en herramientas más rápidas.