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Since 1995, one question about high-dimensional geometry has stood between mathematicians and a clean answer about how random walks explore a distribution. The Kannan–Lovász–Simonovits conjecture asks whether, for a broad class of probability distributions, the best flat cut is nearly as effective as the best cut of any shape. Microsoft Research now reports that two researchers, including Xinzhi Zhang of its Machine Learning and Optimization group, have proved it: the gap between the two kinds of cut stays below a fixed bound, whatever the number of dimensions.
Desde 1995, una pregunta sobre geometría de alta dimensión separa a los matemáticos de una respuesta clara sobre cómo las caminatas aleatorias exploran una distribución. La conjetura de Kannan–Lovász–Simonovits pregunta si, para una amplia clase de distribuciones de probabilidad, el mejor corte plano es casi tan eficaz como el mejor corte de cualquier forma. Microsoft Research afirma ahora que dos investigadores, entre ellos Xinzhi Zhang, de su grupo de Aprendizaje Automático y Optimización, la han demostrado: la diferencia entre ambos tipos de corte se mantiene por debajo de una cota fija, sea cual sea el número de dimensiones.
A flat cut is a slice through a shape made with a flat blade, a hyperplane in mathematical terms. For log-concave distributions, a broad family of probability distributions, the conjecture predicts that the best flat cut differs from the best cut of any shape by no more than a universal constant, however many dimensions there are. The geometry of these cuts sets how quickly a random walk can explore the distribution, which is why the problem sits at the centre of high-dimensional sampling, the family of methods that draw random points from complicated distributions.
Un corte plano es una sección a través de una forma hecha con una hoja plana, es decir, un hiperplano en términos matemáticos. Para las distribuciones log-cóncavas, una amplia familia de distribuciones de probabilidad, la conjetura predice que el mejor corte plano no difiere del mejor corte de cualquier forma en más que una constante universal, sea cual sea el número de dimensiones. La geometría de estos cortes determina la rapidez con la que una caminata aleatoria puede explorar la distribución, y por eso el problema ocupa un lugar central en el muestreo de alta dimensión, la familia de métodos que extraen puntos aleatorios de distribuciones complejas.
The problem was recognised as central long before it fell. The Mathematical Sciences Research Institute called it “a central open problem in high-dimensional convex geometry” in its 2017-18 Annual Report, and the Simons Institute described it as “one of the most important open problems in convex geometry.” The best known result, established in July 2026, let the bound grow slowly as dimensions increased. The authors first sharpened it: in the version posted on October 1, 2026, the dependence on dimension fell to the iterated logarithm, a function that grows very slowly but still grows, so the conjecture was not yet resolved.
El problema fue reconocido como central mucho antes de caer. El Instituto de Investigación en Ciencias Matemáticas lo calificó de «un problema abierto central en geometría convexa de alta dimensión» en su informe anual 2017-18, y el Instituto Simons lo describió como «uno de los problemas abiertos más importantes de la geometría convexa». El mejor resultado conocido, establecido en julio de 2026, permitía que la cota creciera lentamente al aumentar las dimensiones. Los autores la mejoraron primero: en la versión publicada el 1 de octubre de 2026, la dependencia de la dimensión se redujo al logaritmo iterado, una función que crece muy lentamente pero sigue creciendo, de modo que la conjetura todavía no estaba resuelta.
The last steps came from an unusual workflow. Working with AI agents in a structured, human-directed process, the authors explored more than 100 candidate approaches, many involving lengthy calculations with higher-order tensors. One of them produced a new criterion that became the foundation of the proof. The final move was to repeat the whole recursive refinement rather than apply it once, an idea inspired by the authors’ earlier work on fast algorithms for linear programming. They showed that the small errors introduced at each stage shrink fast enough that their total stays bounded by a universal constant, independent of dimension. The version posted on October 4, 2026 completed the proof. The authors say AI tools helped explore, derive and check, while the researchers chose the direction, selected the ideas and verified the argument.
Los últimos pasos llegaron por un flujo de trabajo poco habitual. Trabajando con agentes de IA en un proceso estructurado y dirigido por humanos, los autores exploraron más de 100 enfoques candidatos, muchos de ellos con cálculos extensos con tensores de orden superior. Uno de ellos produjo un nuevo criterio que se convirtió en la base de la demostración. El último paso fue repetir todo el refinamiento recursivo en lugar de aplicarlo una sola vez, una idea inspirada en un trabajo anterior de los autores sobre algoritmos rápidos de programación lineal. Demostraron que los pequeños errores introducidos en cada etapa se reducen con la suficiente rapidez como para que su suma se mantenga acotada por una constante universal, independiente de la dimensión. La versión publicada el 4 de octubre de 2026 completó la demostración. Los autores afirman que las herramientas de IA ayudaron a explorar, derivar y verificar, mientras que los investigadores eligieron la dirección, seleccionaron las ideas y comprobaron el argumento.
The claim has drawn parallel work. On the same day the Microsoft team posted its complete proof, a separate group of leading experts posted a full proof it had developed in parallel, calling the first Microsoft version “the crucial step in the proof.” A third proof, posted that day, relies on a closely related idea. The Microsoft post also reports that several independent researchers validated the work and that a machine-checked formal verification followed. It does not say whether the paper has yet been accepted by a journal.
La afirmación ha provocado trabajos paralelos. El mismo día en que el equipo de Microsoft publicó su demostración completa, un grupo distinto de expertos destacados publicó una demostración completa que había desarrollado en paralelo, y calificó la primera versión de Microsoft de «el paso crucial de la demostración». Una tercera demostración, publicada ese día, se basa en una idea muy próxima. La publicación de Microsoft indica además que varios investigadores independientes validaron el trabajo y que después se realizó una verificación formal por máquina. No dice si el artículo ha sido aceptado aún por alguna revista.
For researchers who build and analyse sampling and optimisation methods, the change is in the guarantees: a bound that no longer grows with dimension replaces one that grew, however slowly. The post presents this as the removal of a major theoretical obstacle to understanding the efficiency of randomized algorithms used across science and computing. It sets no date for any practical effect, and it does not say whether the result will translate into faster tools.
Para los investigadores que diseñan y analizan métodos de muestreo y optimización, el cambio está en las garantías: una cota que ya no crece con la dimensión sustituye a otra que sí crecía, por lenta que fuera. La publicación presenta este avance como la eliminación de un obstáculo teórico importante para entender la eficiencia de los algoritmos aleatorizados que se usan en la ciencia y la informática. No fija una fecha para ningún efecto práctico y no dice si el resultado se traducirá en herramientas más rápidas.